17 ecuaciones que cambiaron el mundo (y su explicación)
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17 ecuaciones que cambiaron el mundo (y su explicación)

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17 ecuaciones que cambiaron el mundo (y su explicación)

Aunque a veces tienen 'mala fama', forman parte de nuestro día a día y gracias a su entendimiento el mundo se ha transformado. Estas son las 17 fórmulas matemáticas que han marcado a la humanidad, según Ian Stewart.

Redacción
27/01/2018

Hacer que el mundo ame las matemáticas no es tarea fácil, pero Ian Stewart, profesor emérito de la Universidad de Warwick, lo ha logrado con un estilo de escritura accesible y entretenido, incluso para abordar temas complejos como la Teoría del caos y la simetría.

Ian divide su tiempo entre la investigación matemática y el trabajo para aumentar el conocimiento de las matemáticas y la ciencia. Sus temas de investigación abarcan la teoría de la bifurcación, la formación de patrones y la biomatemática, y ha realizado contribuciones importantes a la teoría de catástrofes.

Uno de sus libros más populares y vendidos en el mundo es "En busca de lo desconocido: 17 ecuaciones que cambiaron el mundo", donde explica diecisiete de nuestras ecuaciones más cruciales, incluida la ecuación de onda que permitió a los ingenieros medir la respuesta de un edificio a terremotos, salvando innumerables vidas, y el modelo Black-Scholes, utilizado por los banqueros para rastrear el precio de los derivados financieros a lo largo del tiempo.

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Stewart ilustra que muchos de los avances que hoy damos por sentados fueron posibles gracias a los descubrimientos matemáticos.

Aunque se ve complicado, te explicamos, basados en su libro, la importancia de cada una de estas 17 ecuaciones.

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1
Teorema de Pitágoras

El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos.

Teorema de Pitágoras
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Aunque se le atribuye a Pitágoras, no es seguro que haya sido la primera persona en demostrarlo. La primera prueba clara vino de Euclides y es posible que el concepto fuera conocido mil años antes de Pitágoras por los babilonios.

La ecuación está en el núcleo de gran parte de la geometría, la vincula con el álgebra y es la base de la trigonometría. Sin él, la topografía precisa y la navegación serían imposibles.

En términos de matemática pura, el Teorema de Pitágoras define la geometría del plano euclidiano normal. Por ejemplo, un triángulo rectángulo dibujado en la superficie de una esfera como la Tierra no necesariamente cumple el teorema.

Hoy la usamos para:

La triangulación se utiliza hasta el día de hoy para identificar la ubicación relativa de la navegación GPS.

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2
Logaritmos 

Multiplica números agregando números relacionados.

Logaritmos
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El concepto inicial fue descubierto por el escocés Laird John Napier, de Merchiston, en un esfuerzo por hacer la multiplicación de grandes cantidades más fácil y rápida. Luego fue refinado por Henry Briggs para hacer que las tablas de referencia fueron más fáciles de calcular.

Los logaritmos fueron revolucionarios, lo que hace que el cálculo sea más rápido y preciso para ingenieros y astrónomos. 

Hoy la usamos para:

Los logaritmos y las funciones exponenciales relacionadas se utilizan para modelar todo, desde el interés compuesto hasta el crecimiento biológico y la descomposición radiactiva.

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3
Cálculo

Permite el cálculo de una tasa de cambio instantánea.

Cálculo
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El cálculo, tal como lo conocemos actualmente, fue descrito por Isaac Newton y Gottfried Leibniz casi al mismo tiempo a fines del siglo XVII. Hubo un prolongado debate sobre el plagio y la prioridad que quizás nunca se resuelva. 

"Más que cualquier otra técnica matemática, ha creado el mundo moderno", afirma Stewart. El cálculo es esencial en nuestra comprensión de cómo medir sólidos, curvas y áreas. Es la base de muchas leyes naturales y la fuente de ecuaciones diferenciales.

Hoy lo usamos para:

Cualquier problema matemático donde se requiera una solución óptima. Esencial para medicina, economía, física, ingeniería e informática.

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4
Ley de la gravedad

Calcula la fuerza de la gravedad entre dos objetos.

Ley de la gravedad
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Isaac Newton derivó sus leyes basadas en el trabajo astronómico y matemático anterior de Johannes Kepler. También usó, y posiblemente plagió, el trabajo de Robert Hooke.

Usó técnicas de cálculo para describir cómo funciona el mundo. Aunque luego fue suplantado por la teoría de la relatividad de Einstein, sigue siendo esencial para una descripción práctica de cómo los objetos en el espacio, como las estrellas, los planetas y las naves de fabricación humana, interactúan entre sí.

Hoy lo usamos para: 

La idea básica de la gravedad newtoniana sigue siendo una aproximación útil de cómo se comportan las cosas en el espacio.

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5
Raíz cuadrada de menos uno

Los matemáticos pueden ampliar la idea de qué números son introduciendo las raíces cuadradas de los números negativos.

Raíz cuadrada menos uno
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Los números imaginarios fueron originalmente postulados por el famoso jugador/matemático Girolamo Cardano, luego ampliado por Rafael Bombelli y John Wallis. Todavía existían como un problema peculiar, pero esencial en matemáticas hasta que William Hamilton describió esta definición.

Los números imaginarios y complejos son matemáticamente muy elegantes. El álgebra funciona perfectamente de la manera que queremos: cualquier ecuación tiene una solución de números complejos, una situación que no es verdadera para los números reales: x2 + 4 = 0 no tiene una solución de números reales, pero tiene una solución compleja: el cuadrado raíz de -4 o 2i. El cálculo se puede extender a los números complejos, y al hacerlo, encontramos algunas simetrías y propiedades sorprendentes de estos números.

La extensión del cálculo a los números complejos es una rama de las matemáticas llamada "análisis complejo" y es esencial para comprender los sistemas eléctricos y una variedad de algoritmos de procesamiento de datos modernos.

Hoy la usamos para:

Se utiliza mucho en ingeniería eléctrica y teoría matemática.

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6
Fórmula de Euler para poliedros

Describe una relación numérica que es verdadera para todas las formas sólidas de un tipo particular.

Fórmula de Euler para poliedros
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Fue desarrollado por el gran matemático del siglo 18 Leonhard Euler. Los poliedros son las versiones tridimensionales de polígonos, como el cubo a la derecha. Las esquinas de un poliedro se llaman vértices, las líneas que conectan los vértices son sus bordes y los polígonos que lo cubren son sus caras.

Un cubo tiene 8 vértices, 12 bordes y 6 caras. Si agregas los vértices y caras juntos, y restar los bordes, obtengo 8 + 6 - 12 = 2.

La fórmula de Euler establece que, siempre que su poliedro se comporte bien, si suma los vértices y las caras y resta los bordes, siempre obtendrá 2. Esto será cierto tanto si su poliedro tiene 4, 8, 12, 20 o cualquier cantidad de caras. 

Esta fórmula es fundamental para el desarrollo de la topología, que extiende la geometría a cualquier superficie continua.

Hoy lo usamos para:

La topología se usa para comprender el comportamiento y la función del ADN y es una parte subyacente del conjunto de herramientas matemáticas utilizado para comprender internet y las redes sociales.

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7
Distribución normal

Define la distribución normal estándar, una curva en forma de campana en la que la probabilidad de observar un punto es mayor cerca del promedio y disminuye rápidamente a medida que uno se aleja.

Distribución normal
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El trabajo inicial fue de Blaise Pascal, pero la distribución se hizo independiente con Bernoulli. La curva de la campana proviene del matemático belga Adolphe Quetelet.

La ecuación es la base de las estadísticas modernas. Las ciencias naturales y sociales no existirían en su forma actual sin él. El diseño del experimento estadístico se basa en las propiedades de la curva normal, y cómo esas propiedades se relacionan con los errores que pueden ocurrir al tomar una muestra al azar.

Hoy la usamos para:

Se utiliza para determinar si los medicamentos son suficientemente efectivos en los ensayos clínicos.

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8
Ecuación de onda

Es una ecuación diferencial que describe el comportamiento de las ondas, como el comportamiento de una cuerda de violín vibrante.

Ecuación de onda
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Los matemáticos Daniel Bournoulli y Jean D'Alembert fueron los primeros en describir esta relación en el siglo XVIII, aunque de maneras ligeramente diferentes.

El comportamiento de las olas se generaliza a la forma en que funciona el sonido, cómo ocurren los terremotos y el comportamiento del océano.
Las técnicas desarrolladas para resolver la ecuación de onda han sido muy útiles para resolver tipos similares de ecuaciones también.

Hoy la usamos para:

Las compañías petroleras disparan explosivos y luego leen los datos de las ondas de sonido para predecir las formaciones geológicas.

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9
Transformada de Fourier

Describe los patrones en el tiempo como una función de la frecuencia.

Transformada de Fourier
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Joseph Fourier descubrió la ecuación, que se extendió desde su famosa solución a una ecuación diferencial que describe cómo fluye el calor y la ecuación de onda descrita anteriormente.

La ecuación permite que los patrones de onda complejos, como la música, el habla o las imágenes, se rompan, limpien y analicen. Esto es esencial en muchos tipos de análisis de señal.

Hoy la usamos para:

Se usa para comprimir información para el formato de imagen JPEG y descubrir la estructura de las moléculas.

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10
Ecuaciones de Navier-Stokes

Son la ecuación física fundamental que describe cómo funcionan los fluidos. El lado izquierdo es la aceleración de una pequeña cantidad de fluido, el derecho indica las fuerzas que actúan sobre él.

Ecuaciones de Navier-Stokes
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Leonhard Euler hizo el primer intento de modelar el movimiento de fluidos. El ingeniero francés Claude-Louis Navier y el matemático irlandés George Stokes dieron el salto al modelo que todavía se usa hoy en día.

Una vez que las computadoras se volvieron lo suficientemente potentes como para resolver esta ecuación, se abrió un complejo y muy útil campo de la física. Es particularmente útil para hacer que los vehículos sean más aerodinámicos.

Si bien podemos usar las computadoras actuales para hacer simulaciones prácticas y aproximadas de la dinámica de fluidos que son útiles en ingeniería, encontrar una solución matemáticamente exacta (o incluso saber si existe o no una solución exacta en todos los casos) sigue siendo una pregunta abierta, cuya respuesta tendría un premio de un millón de dólares.

Hoy la usamos para:

Entre otras cosas, permitió el desarrollo de los aviones modernos de pasajeros.

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11
Ecuaciones de Maxwell

Son mapas de la relación entre los campos eléctricos y magnéticos.

Ecuaciones de Navier-Stokes
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Michael Faraday hizo un trabajo pionero en la conexión entre la electricidad y el magnetismo, y James Clerk Maxwell lo tradujo a estas ecuaciones. Las ecuaciones de Maxwell eran para el electromagnetismo clásico lo que las leyes del movimiento de Newton eran para la mecánica clásica.

Ayudó a comprender las ondas electromagnéticas, ayudando a crear la tecnología eléctrica y electrónica más moderna.

Hoy las usamos para:

Los radares, la televisión y las comunicaciones modernas.

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12
Segunda Ley de termodinámica

La energía y el calor se disipan con el tiempo.

Segunda Ley de termodinámica
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Sadi Carnot primero postuló que la naturaleza no tiene procesos reversibles. El matemático Ludwig Boltzmann extendió la ley y William Thomson lo declaró formalmente.

Esto es esencial para nuestra comprensión de la energía y del universo a través del concepto de entropía. La entropía termodinámica es, en términos generales, una medida de cuán desordenado es un sistema. Un sistema que comienza en un estado ordenado y desigual, por ejemplo, una región caliente cerca de una región fría, siempre tenderá a equilibrarse, con el calor que fluye del área caliente al área fría hasta que se distribuya uniformemente.

Hoy lo usamos para:

La termodinámica es la base de gran parte de nuestra comprensión de la química y la física, y es esencial para la construcción de cualquier tipo de planta de energía o motor.

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13
Teoría de la Relatividad

La energía y la materia son dos caras de la misma moneda.

Teoría de la Relatividad
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La génesis de la ecuación de Einstein fue un experimento de Albert Michelson y Edward Morley que demostró que la luz no se movía de forma newtoniana en comparación con los marcos de referencia cambiantes. Einstein dio seguimiento a esta idea con sus famosos trabajos sobre relatividad especial (1905) y relatividad general (1915).

La relatividad especial trajo ideas como la velocidad de la luz que es un límite de velocidad universal y el paso del tiempo es diferente para las personas que se mueven a diferentes velocidades.

La relatividad general describe la gravedad como una curva y plegado del espacio y el tiempo en sí mismos, y fue el primer cambio importante para nuestra comprensión de la gravedad desde la ley de Newton. La relatividad general es esencial para nuestra comprensión de los orígenes, la estructura y el destino final del universo.

Es quizá la ecuación más famosa de la historia. Cambió completamente nuestra visión de la materia y la realidad.

Hoy la usamos para:

Ayudó a conducir a armas nucleares y gracias a ella el GPS es exacto.

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14
Ecuación de Schrödinger

Esta es la ecuación principal en física cuántica. Los modelos importan como una onda, en lugar de una partícula.

Ecuación de Schrödinger
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Louis-Victor de Broglie identificó la naturaleza dual de la materia en 1924. La ecuación fue derivada por Erwin Schrodinger en 1927, basándose en el trabajo de físicos como Werner Heisenberg. Describe la forma en que las partículas subatómicas y los átomos evolucionan con el tiempo.

Esta ecuación evolucionó la visión de la física a pequeña escala. La idea de que las partículas en ese nivel existen en un rango de estados probables fue revolucionaria.

La mecánica cuántica moderna y la relatividad general son las dos teorías científicas más exitosas de la historia: todas las observaciones experimentales que hemos realizado hasta la fecha son totalmente consistentes con sus predicciones.

Hoy la usamos para:

La mecánica cuántica es necesaria para la mayoría de las tecnologías modernas: la energía nuclear, las computadoras basadas en semiconductores y los láseres se basan en fenómenos cuánticos.

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15
Teoría de la información

Calcula la cantidad de datos en un fragmento de código según las probabilidades de sus símbolos componentes.

Teoría de la información
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Es desarrollada por el ingeniero de Bell Labs Claude Shannon en los años posteriores a la Segunda Guerra Mundial.

La ecuación dada aquí es para la entropía de información de Shannon. Al igual que con la entropía termodinámica dada anteriormente, esta es una medida del desorden. En este caso, mide el contenido de información de un mensaje: un libro, una imagen JPEG enviada en Internet o cualquier cosa que pueda representarse simbólicamente.

La entropía de Shannon de un mensaje representa un límite inferior de cuánto se puede comprimir ese mensaje sin perder parte de su contenido.

Hoy la usamos para:

La medida de entropía de Shannon lanzó el estudio matemático de la información y sus resultados son fundamentales para la forma en que nos comunicamos hoy a través de las redes.

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El modelo logístico para el crecimiento de la población

Estima el cambio en una población de criaturas a través de generaciones con recursos limitados. Es importante destacar que esta ecuación puede conducir a un comportamiento caótico.

El modelo logístico para el crecimiento de la población
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Robert May fue el primero en señalar que este modelo de crecimiento de la población podría producir caos en 1975. El trabajo importante de los matemáticos Vladimir Arnold y Stephen Smale ayudó a darse cuenta de que el caos es una consecuencia de ecuaciones diferenciales.

Para ciertos valores de k, el mapa muestra un comportamiento caótico: si comenzamos con un valor inicial particular de x, el proceso evolucionará en una dirección, pero si comenzamos en otro valor inicial, incluso uno muy cercano al primer valor, el proceso evolucionará de una manera completamente diferente.

Esta ecuación es la base en el desarrollo de la Teoría del caos, que ha cambiado por completo nuestra comprensión de la forma en que funcionan los sistemas naturales.

Vemos un comportamiento caótico, comportamiento sensible a las condiciones iniciales, como este en muchas áreas. El clima es un ejemplo clásico: un pequeño cambio en las condiciones atmosféricas en un día puede conducir a sistemas climáticos completamente diferentes unos días después, más comúnmente capturados en la idea de una mariposa batiendo sus alas en un continente causando un huracán en otro continente.

Hoy la usamos para:

Se usa para modelar terremotos y predecir el clima.

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El modelo Black-Scholes

Describe cómo el precio de un derivado financiero cambia en el tiempo, basándose en el principio de que cuando el precio es correcto, el derivado no conlleva riesgo y nadie puede sacar beneficio vendiéndolo a un precio diferente.

El modelo Black-Scholes
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Desarrollado por Fischer Black y Myron Scholes, luego ampliado por Robert Merton. Los dos últimos ganaron el Premio Nobel de Economía de 1997 por el descubrimiento.

Este modelo ayudó a crear el mercado de derivados, ahora multimillonario en dólares. Se argumenta que el uso indebido de la fórmula (y sus descendientes) contribuyó a la crisis financiera. En particular, la ecuación mantiene varios supuestos que no son ciertos en los mercados financieros reales.

Hoy lo usamos para:

Las variantes se siguen utilizando para fijar el precio de la mayoría de los derivados, incluso después de la crisis financiera.


Fuente:  "En busca de lo desconocido: 17 ecuaciones que cambiaron el mundo" de Ian Stewart (Traducción: Patricio Barros)